¿Sabías que es imposible construir un heptágono regular con una regla y un compás? ¿Sabías que también es imposible construir de este modo un cuadrado con la misma área que un círculo dado? Este último problema se conoce como la cuadratura del círculo. Fue planteado en la antigüedad y permaneció abierto hasta finales del siglo XIX.
Seguro que sabes que la única raíz de un polinomio de grado 1, $ax+b$, es
$$x=-\frac{b}{a}.$$
También sabes que las raíces de uno de grado 2, $ax^2+bx+c$, son
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$
Es menos conocido que las raíces de un polinomio de grado 3, $ax^3+bx^2+cx+d$, son
$$ x= \left\{ \begin{array}{l} S+T−\frac{b}{3a},\cr -\frac{S+T}{2}−\frac{b}{3a}+\frac{i\sqrt{3}}{2}(S−T),\cr -\frac{S+T}{2}−\frac{b}{3a}-\frac{i\sqrt{3}}{2}(S−T), \end{array} \right. $$
donde
$$ \begin{array}{rcl} S&=&\sqrt[3]{R+\sqrt{Q^3+R^2}},\cr T&=&\sqrt[3]{R-\sqrt{Q^3+R^2}},\cr Q&=&\frac{3ac-b^2}{9a^2},\cr R&=&\frac{9abc-27a^2d-2b^3}{54a^3}. \end{array} $$
De aquí surge por tanto la siguiente cuestión natural: ¿Es posible expresar las raíces de un polinomio de cualquier grado a partir de sus coeficientes mediante sumas, multiplicaciones y raíces iteradas? Esto se denomina resolver una ecuación polinómica por radicales. Esta importante pregunta es también de origen antiguo y permaneció abierta hasta el siglo XIX, cuando fue resuelta por Galois. La respuesta es sencilla, aunque llegar a ella no es fácil: hasta grado 4 sí, de grado 5 en adelante, en general, no. Un ejemplo de polinomio de grado 5 cuyas raíces no se pueden hallar por radicales es el siguiente, a pesar de su aparente sencillez,
$$x^5-16x+2.$$
A lo largo de este capítulo estudiaremos las matemáticas necesarias para resolver estas y otras cuestiones relacionadas.