¿Cómo es el álgebra lineal que resulta al reemplazar el papel de los cuerpos por anillos más generales? El objeto de estudio de esta álgebra lineal generalizada son los módulos. Un módulo $M$ es a un anillo $R$ lo que un espacio vectorial es a un cuerpo. Es decir, el módulo $M$ está dotado de las siguientes operaciones:
Suma.
Resta.
Producto por escalares de $R$.
Estas operaciones deben satisfacer las propiedades habituales. Además el módulo ha de contener el siguiente elemento:
Tanto este $0\in M$ como el $1\in R$ han de satisfacer las propiedades habituales con respecto a la suma y la multiplicación.
Los módulos sobre el anillo $\mathbb Z$ son simplemente los grupos abelianos. Los espacios vectoriales sobre un cuerpo cualquiera están clasificados por su dimensión. Es decir, dos espacios vectoriales son isomorfos si y solo si tienen la misma dimensión. En este tema estudiaremos fundamentalmente la clasificación de los módulos finitamente generados sobre un dominio de ideales principales. En particular la clasificación de los grupos abelianos finitamente generados. Aplicaremos estos resultados a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales diofánticas y al estudio de un tema de álgebra lineal clásica: los endomorfismos de espacios vectoriales de dimensión finita.