Finitud

Sea $S=\{a_1,\dots,a_m\}\subset M$ un conjunto de generadores. Por serlo, el homomorfismo $\phi_S\colon R^m\rightarrow M$ es sobreyectivo, así que

$$\frac{R^m}{\ker\phi_{S}}\cong M.$$

Según hemos visto anteriormente, el submódulo $\ker \phi_S\subset R^m$ es finitamente generado. Escogemos un conjunto de generadores $S’=\{b_1,\dots,b_n\}\subset \ker \phi_{S}$, que por tanto inducen otro homomorfismo sobreyectivo $\phi_{S’}\colon R^n\rightarrow \ker \phi_{S}$. Consideramos su composición con la inclusión,

$$A\colon R^n\stackrel{\phi_{S’}}\twoheadrightarrow \ker \phi_S\hookrightarrow R^m,$$

que estará definida por una matriz $A$. Al ser $\phi_{S’}$ sobreyectiva, $\operatorname{im}A=\ker \phi_{S}$, con lo que $A$ es una presentación de $M$.

• Las matrices invertibles $P$ y $Q$ se corresponden con meros cambios de base en $R^m$ y $R^n$, respectivamente, con lo cual tenemos un isomorfismo

$$\begin{array}{rcl} R^m/\operatorname{im}A&\stackrel{\cong}\longrightarrow& R^m/\operatorname{im}A’\\ [ x ]&\mapsto& [Qx].\end{array}$$

Usando el primer teorema de isomorfía, podemos comprobar que esta aplicación está en efecto bien definida y es un isomorfismo.

• Una columna de ceros se corresponde con la relación $0=0$, que no aporta nada, con lo cual puede eliminarse.

• En este caso la $j$-ésima columna se corresponde con la relación $ua_i=0$, que equivale a $a_i=0$, pues $u$ es una unidad, así que podemos simplemente eliminar $a_i$ de la lista de generadores y $a_i=0$ de la de relaciones. Esto se corresponde con la eliminación de la $i$-ésima fila y la $j$-ésima columna de $A$.

Es obvio, ya que este módulo está generado por $\{a_1,\dots,a_m\}$, donde $a_i=\bar e_i$, y las relaciones correspondientes a la matriz $D$ son

$$d_ia_i=0,\quad 1\leq i\leq n.$$

Por tanto las únicas relaciones existentes nos dicen que hemos de considerar la $i$-ésima coordenada módulo $(d_i)$, $1\leq i\leq n$. El isomorfismo está simplemente definido por

$$ \begin{array}{rcl} \frac{R^m}{\operatorname{im} D} &\stackrel{\cong}\longrightarrow& \frac{R}{(d_1)}\times \cdots \times\frac{R}{(d_n)}\times R^{m-n},\cr {[(r_1,\dots,r_m)]}&\mapsto&(\bar{r}_1,\dots, \bar{r}_n,r_{n+1},\dots,r_m). \end{array} $$

La estrategia para probar la existencia consiste en aplicarle a $A$ una serie de operaciones elementales para llegar a una matriz de la forma

$$\left(\begin{array}{c|c} d_1&0\cr \hline 0&B \end{array}\right)$$

donde $d_1$ divide a todas las entradas de $B$. Una vez hecho esto, pasamos a trabajar del mismo modo con la matriz $B$. De este modo obtenemos el resultado por inducción ya que si un elemento de $R$ divide a todas las entradas de una matriz $B$ entonces también divide a las entradas de una matriz obtenida a partir de $B$ mediante una operación elemental.

Sea $A$ una matriz no nula (si fuera nula no habría nada que hacer). Para llegar a una matriz como la anterior a partir de $A$ aplicamos el siguiente procedimiento:

1. Permutando filas y columnas, mueve la entrada no nula de menor tamaño a la esquina superior izquierda.

2. Dada una entrada no nula de la primera columna $a_{i1}$, $i>1$, realiza la división euclídea $a_{i1}=c\cdot a_{11}+r$ y la operación $F_{i}-c\cdot F_1$. La entrada $(i,1)$ de la nueva matriz es el resto $r$. Si este resto es no nulo entonces tiene tamaño menor que $a_{11}$, así que volvermos al paso 1. Si no, continuamos con otra entrada no nula de la primera columna. Si el resto de entradas de la primera columna son $0$, pasamos a hacer lo análogo con la primera fila, es decir, buscamos una entrada $a_{1j}$ no nula, $j>1$, realizamos la división euclídea $a_{1j}=c\cdot a_{11}+r$ y la operación $C_{j}-c\cdot C_1$. La entrada $(1,j)$ de la nueva matriz es el resto $r$. Si este resto no es nulo entonces tiene tamaño menor que el de $a_{11}$ y pasamos al paso 1. Si no, realizamos el mismo procedimiento con otra entrada no nula de la primera fila.

3. Cuando lleguemos aquí es porque el único elemento no nulo de la primera fila y de la primera columna es el $a_{11}$. Si hay algún elemento no nulo $a_{ij}$ que no es divisible por $a_{11}$ realizamos la operación $F_{1}+F_{i}$. La matriz resultante tiene el mismo $a_{11}$, pero en la entrada $(1,j)$ nos encontramos con $a_{ij}$, que no es múltiplo de $a_{11}$, así que volvemos al paso 1. (También podríamos hacer la operación $C_{1}+C_{j}$ y pasar al paso 1.) Si no lo hay, es porque nuestra matriz ya es de la forma

$$\left(\begin{array}{c|c} d_1&0\cr \hline 0&B \end{array}\right)$$

y $d_1$ divide a todas las entradas de $B$.

Este procedimiento termina porque cada vez que realizamos una división euclídea con resto no nulo, el mínimo de los tamaños de los elementos no nulos disminuye. Como este número es un entero no negativo, no puede disminuir indefinidamente. Esto asegura que el procedimiento acaba tras un número finito de pasos.

Este método para llegar a la forma normal de Smith se conoce como algoritmo de diagonalización de matrices con entradas en $R$.

En virtud de la correspondencia entre operaciones y matrices elementales, la matriz $Q$ del enunciado se obtiene al realizar sobre la matriz identidad $I_m$ de tamaño $m\times m$ todas las operaciones elementales por filas que hemos usado para hallar $D$, en el mismo orden. Análogamente, $P^{-1}$ se obtiene al aplicarle a $I_n$ todas las operaciones elementales por columnas realizadas para calcular $D$.

El determinante de una matriz $A$ de tamaño $n\times n$ es asociado del determinante de cualquier otra matriz que se obtenga a partir de $A$ tras realizar una operación elemental. En particular, $|A|$ es asociado del determinante de su forma normal de Smith $D$. El determinante $|D|$ es $0$ si $k<n$ y $d_1\cdots d_n$ si $k=n$. Si $A$ es invertible entonces $|A|$ es una unidad, luego necesariamente $k=n$ y $d_1\cdots d_n$ también es una unidad. En particular todos los $d_i$ son unidades, es decir, la forma normal de Smith es un producto de matrices elementales tipo 3, $D=E_{11}(d_1)\cdots E_{nn}(d_n)$. Despejando $A=Q^{-1}DP$ vemos que $A$ es producto de matrices elementales.

La ecuación $D=QAP^{-1}$ equivale a $DP=QA$, que es lo mismo que decir que el siguiente diagrama de $R$-módulos libres conmuta,

Como $P$ y $Q$ son invertibles, los homomorfismos que definen son isomorfismos.

Al ser $D\vec{v}=(d_1v_1,\dots,d_kv_k,0,\dots,0)$, el núcleo de $D$ es el submódulo formado por los elementos de $R^n$ cuyas primeras coordenadas son nulas, es decir, los de la forma $(0,\dots, v_{k+1},\dots,v_n)$. Claramente $\{e_{k+1},\dots,e_n\}$ es una base de este submódulo, así que la imagen de esta base por el isomorfismo inverso de $P$ es una base del núcleo de $A$.

Del cálculo anterior también deducimos que la imagen de $D$ es el submódulo de $R^m$ formado por los elementos tales que la $i$-ésima coordenada, $1\leq i\leq k$, es divisible por $d_i$ y el resto son nulas. Deducimos que una base de la imagen de $D$ está formada por los vectores $\{d_1e_1,\dots,d_ke_k\}$, luego la imagen de esta base por el isomorfismo inverso de $Q$ es una base de la imagen de $A$.

Hemos visto en una proposición anterior que $M$ es finitamente presentado. Sea la matriz $A$ una presentación de $M\cong R^m/\operatorname{im}A$. En virtud de otra, su forma normal de Smith $D=QAP^{-1}$ también presenta $M\cong R^m/\operatorname{im}D$. Es más, podemos eliminar las columnas de ceros. Más aún, algún $d_i$ podría ser una unidad (los anteriores también tendrían que serlo, pues lo dividen). En este caso, podríamos eliminar la $i$-ésima fila y la $i$-ésima columna. De este modo acabamos con una matriz

$$\left( \begin{array}{ccc} d_1&&\cr &\ddots&\cr &&d_n\cr \hline &0& \end{array} \right)$$

donde los $d_i$ no son nulos ni unidades, y además satisfacen $d_i|d_{i+1}$, $1\leq i<n$. El módulo presentado por esta matriz es el del enunciado, en virtud de una proposición anterior más.

Hemos visto antes que la torsión se preserva por isomorfismos y además preserva productos, así que, por un lado,

$$ \begin{array}{rcl} T(M)&\cong&T\left(\frac{R}{(d_1)}\times \cdots \times\frac{R}{(d_n)}\times R^{r}\right)\cr &=&\frac{R}{(d_1)}\times \cdots \times\frac{R}{(d_n)}\times \{0\}\cr &\cong&\frac{R}{(d_1)}\times \cdots \times\frac{R}{(d_n)}. \end{array} $$

Por otro lado,

$$ \begin{array}{rcl} \frac{M}{T(M)}&\cong& \frac{\frac{R}{(d_1)}\times \cdots \times\frac{R}{(d_n)}\times R^{r}}{T\left(\frac{R}{(d_1)}\times \cdots \times\frac{R}{(d_n)}\times R^{r}\right)}\cr &=& \frac{\frac{R}{(d_1)}\times \cdots \times\frac{R}{(d_n)}\times R^{r}}{\frac{R}{(d_1)}\times \cdots \times\frac{R}{(d_n)}\times\{0\}}\cr &\cong&R^r. \end{array} $$

Como acabamos de ver, $M/T(M)$ es libre de rango $r$ y $N/T(N)$ es libre de rango $s$. También hemos visto que $M/T(M)\cong N/T(N)$. Deducimos que $r=s$, ya que el rango de un módulo libre es invariante por isomorfismos, pues los isomorfismos preservan bases.

Consideramos el homomorfismo de $R$-módulos

$$f=\phi_{\{(\bar 1,\bar 1)\}}\colon R\longrightarrow\frac{R}{(a)}\times \frac{R}{(b)}$$

definido por $f(1)=(\bar 1,\bar 1)$. Para un $r\in R$ cualquiera, como $f$ preserva el producto por escalares

$$f( r )=rf(1)=r(\bar 1,\bar 1)=(\bar r,\bar r).$$

Por el primer teorema de isomorfía,

$$ \frac{R}{\ker f}\cong\operatorname{im} f $$

y este isomorfismo está definido como $\bar r\mapsto f( r )=(\bar r,\bar r)$. Por tanto bastará probar que $\ker f=(ab)$ y que $f$ es sobreyectivo.

Veamos primero que $\ker f=(ab)$. En efecto $ab\in\ker f$ ya que $ab\equiv 0$ módulo $(a)$ y módulo $(b)$. Por lo tanto, $(ab)\subset \ker f$. Por otro lado, si $f( r )=(\bar r,\bar r)=(\bar 0,\bar 0)$, es decir si $r\equiv 0$ módulo $(a)$ y módulo $(b)$, entonces $a|r$ y $b|r$ luego $ab=\operatorname{mcm}(a,b)|r$, esto es $r\in (ab)$.

Veamos ahora que $f$ es sobreyectivo, es decir, que dado cualquier $(\bar c,\bar d)\in \frac{R}{(a)}\times \frac{R}{(b)}$ existe $x\in R$ tal que $f(x)=(\bar{c},\bar{d})$. Esto equivale a resolver el sistema de ecuaciones

$$\left\{\begin{array}{rcl}x&\equiv& c\mod (a),\cr x&\equiv& d\mod (b),\end{array}\right.$$

para $c,d\in R$ cualesquiera. Tomamos una identidad de Bézout $sa+tb=1$ y observamos que $x=sad+tbc$ resuelve la ecuación.

En virtud de la primera forma del teorema de estructura, basta ver que si $d\in R$ no es nulo ni una unidad, entonces $R/(d)$ es isomorfo a un producto de módulos cíclicos de la forma $R(p^m)$ con $p$ primo.

Todo DIP es un DFU, así que $d$ se puede descomponer, salvo asociados, como producto de potencias de primos no asociados, $p_{1}^{m_1}\cdots p_{n}^{m_n}$. Entonces, aplicando reiteradamente el teorema chino del resto, obtenemos que

$$\frac{R}{(d)}=\frac{R}{(p_{1}^{m_1}\cdots p_{n}^{m_n})}\cong \frac{R}{(p_{1}^{m_1})}\times\cdots\times \frac{R}{(p_{n}^{m_n})}.$$

El isomorfismo está definido simplemente como $\bar r\mapsto (\bar r,\dots,\bar r)$.

Ya sabemos que el rango de la parte libre está unívocamente determinado, así que podemos restringirnos a $T(M)$ y, por tanto, suponer que el módulo es de torsión.

Dado un elemento $r\in R$, denotemos por $M[r]$ el núcleo de la multiplicación por $r$ en $M$, es decir, el submódulo $\{a\in M | r\cdot a=0\}\subseteq M$. Dado un elemento irreducible $p\in R$ y $m\geq 1$, es fácil ver que $$p\cdot M[p^{m}]\subseteq M[p^{m-1}]\subseteq M[p^{m}].$$

En particular, el $R$-módulo cociente $M[p^{m}]/M[p^{m-1}]$ se anula al multiplicar por $p$, y por tanto podemos verlo como un módulo (es decir, un espacio vectorial) sobre el cuerpo $k=R/(p)$. Denotemos por $d(p,m)$ la dimensión de este espacio.

Tomemos ahora una descomposición de $M$ como producto de $R$-módulos cíclicos del segundo tipo, $$M\cong M_1\times\cdots\times M_n,$$ con $M_i=\frac{R}{(p_i^{m_i})}$. Tenemos entonces que $$ M[p^{m}]/M[p^{m-1}]\cong(M_1[p^{m}]/M_1[p^{m-1}])\times\cdots\times(M_n[p^{m}]/M_n[p^{m-1}]) $$ y, por tanto, $d(p,m)=\sum_{i=1}^n \dim(M_i[p^{m}]/M_i[p^{m-1}])$. Veamos cuáles son estas dimensiones.

Consideramos primero el caso en el que $p_i\neq p$. Entonces, la multiplicación por $p^m$ en $M_i=\frac{R}{(p_i^{m_i})}$ es inyectiva: si $p^m\cdot\bar r=\bar 0$ para algún $r\in R$, entonces $p_i^{m_i}|p^mr$, y por tanto $p_i^{m_i}|r$ (ya que $p$ y $p_i$ son primos entre sí). Así que $M_i[p^m]=\{0\}$, y en este caso la dimensión es $0$.

Supongamos ahora que $p_i=p$ y $m_i<m$. En este caso, se tiene que $M_i[p^{m-1}]=M_i[p^m]=M_i$ (todo elemento de $M_i=\frac{R}{(p^{m_i})}$ se anula al multiplicar por $p^{m-1}$), así que $M_n[p^{m}]/M_n[p^{m-1}]$ es trivial y de nuevo su dimensión es $0$.

Finalmente, consideramos el caso en el que $p_i=p$ y $m_i\geq m$. Para todo $r\in R$, $p^m\cdot\overline{rp^{m_i-m}}=\overline{rp^{m_i}}=\bar 0$ en $M_i$, y por tanto $\overline{rp^{m_i-m}}\in M_i[p^m]$. El homomorfismo $\phi:R\to M_i[p^m]$ dado por $\phi(r)=\overline{rp^{m_i-m}}$ es sobreyectivo: si $\bar s\in M_i[p^m]$, entonces $p^m\cdot\bar s=\bar 0$ en $M_i$, es decir, $p^{m_i}|p^ms$, y por tanto $p^{m_i-m}|s$. Podemos entonces escribir $s=tp^{m_i-m}$ con $t\in R$, de donde $\bar s=\phi(t)$. Componiendo con la proyección sobre el cociente, obtenemos un homomorfismo sobreyectivo $\psi:R\to M_i[p^m]/M_i[p^{m-1}]$.

Veamos cuál es su núcleo: $r\in\ker\psi$ si y solo si $\overline{rp^{m_i-m}}\in M_i[p^{m-1}]$, es decir, si y solo si $p^{m-1}\cdot\overline{rp^{m_i-m}}=\overline{rp^{m_i-1}}=\bar 0$, si y solo si $p^{m_i}|rp^{m_i-1}$, si y solo si $p|r$. Por tanto, $\ker\psi=(p)$, y el teorema de isomorfía nos dice que $M_i[p^m]/M_i[p^{m-1}]\cong R/(p)=k$ como $R$-módulos (y como $k$-espacios vectoriales, ya que la operación es la misma). Así que, en este caso, la dimensión es $1$.

Concluimos entonces que $d(p,m)$ es igual al número de $i=1,\ldots,n$ tales que $p_i=p$ y $m_i\geq m$. Equivalentemente, el número de factores iguales a $R/(p^{m})$ en la descomposición de $M$ es $d(p,m)-d(p,m+1)$ y, en particular, está unívocamente determinado.

De nuevo, podemos suponer que $M$ es de torsión. Supongamos que existen dos descomposiciones distintas $$\frac{R}{(d_1)}\times \cdots \times\frac{R}{(d_n)}$$ y $$\frac{R}{(e_1)}\times \cdots \times\frac{R}{(e_m)}$$ cumpliendo las condiciones del teorema de estructura. Descomponiendo los $d_i$ y los $e_j$ como producto de potencias de irreducibles, obtenemos dos descomposiciones en la 2ª forma, que deben ser la misma (salvo orden de los factores) por el teorema anterior.

Sea $k\geq 0$ tal que $(d_{n-k})\neq (e_{m-k})$. Existe al menos un elemento irreducible $p\in R$ que divide a $d_{n-k}$ y $e_{m-k}$ con distinto exponente (posiblemente cero). Supongamos que $p$ divide $d_{n-k}$ con exponente $a$, y a $e_{m-k}$ con exponente $b<a$. Como $e_j|e_{j+1}$, $p$ divide a $e_j$ con exponente $<a$ para todo $j=1,\ldots,m-k$. Es decir, el número de factores de la forma $R/(p^{m})$ con $m\geq a$ en la segunda descomposición es, como máximo, $k$. Pero, por otra parte, $d_i$ es múltiplo de $p^a$ para todo $i=n-k,\ldots,n$, por lo que el número de factores de la forma $R/(p^{m})$ con $m\geq a$ en la primera descomposición es, como mínimo, $k+1$. Esto contradice el hecho de que las dos descomposiciones deben ser iguales salvo orden de los factores.

Como la multiplicación en un cuerpo es conmutativa, $G$ es un grupo abeliano finito. Por el teorema de estructura, se tiene que $$ G\cong C_{d_1}\times\cdots\times C_{d_n} $$ donde $1\leq d_1|d_2|\cdots|d_n$ y $C_{d_i}$ es un grupo cíclico de orden $d_i$. Pero entonces todo elemento $x\in G$ cumple que $x^{d_n}=1$. Como un polinomio con coeficientes en un cuerpo puede tener, a lo más, tantas raíces como indique su grado, $G$ tiene a lo más $d_n$ elementos. Pero, por otro lado, el número de elementos de $G$ es $d_1\cdots d_n$, y deducimos que $n$ debe ser igual a $1$, es decir, $G$ es cíclico.

Un $k[ x ]$-módulo $M$ es también un $k$-módulo, es decir, un $k$-espacio vectorial, restringiendo el producto por escalares a $k\subset k[ x ]$. La multiplicación por $x$ es un homomorfismo de $k[ x ]$-módulos

$$\begin{array}{rcl}M&\stackrel{x\cdot}\longrightarrow& M,\cr a&\mapsto &x\cdot a,\end{array}$$

en particular también es un homomorfismo de $k$-módulos, es decir, es un operador lineal en el $k$-espacio vectorial $M$.

Recíprocamente, dado un $k$-espacio vectorial $V$ y un operador lineal $f\colon V\rightarrow V$, podemos definir una estructura de $k[ x ]$-módulo en $V$ del siguiente modo. Dado $v\in V$ y $p(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\in k[ x ]$, definimos el producto por escalares como

$$p(x)\cdot v=a_nf^n(v)+\cdots+a_1f(v)+a_0v.$$

Dejamos como ejercicio comprobar que este producto por escalares satisface las propiedades requeridas.

Hemos de construir un isomorfismo entre el $k[ x ]$-módulo $k^n$ y el $k[ x ]$-módulo cociente

$$\frac{k[ x ]^n}{\operatorname{im} (A-xI)}.$$

Para ello, comenzamos considerando el homomorfismo de $k[ x ]$-módulos

$$\phi=\phi_{\{e_1,\dots,e_n\}}\colon k[ x ]^n\longrightarrow k^n,$$

que está definido por $\phi(e_i)=e_i$. Aquí estamos usando la notación $e_i$ tanto para los elementos de la base canónica del $k[ x ]$-módulo $k[ x ]^n$ como para los de la base canónica del $k$-espacio vectorial $k^n$. El homomorfismo $\phi$ es sobreyectivo porque su imagen contiene un conjunto de generadores de $k^n$.

Veamos que $\operatorname{im} (A-xI)\subset\ker \phi$. Como $\operatorname{im} (A-xI)$ está generado por las columnas de la matriz $B=A-xI$, basta ver que estas columnas están en el $\ker \phi$. La $j$-ésima columna es

$$b_{*j}=(a_{ij})_{i=1}^n-xe_j=\sum_{i=1}^na_{ij}e_i-xe_j.$$

Por tanto,

$$\phi(b_{*j})=\sum_{i=1}^na_{ij}e_i-Ae_j=0,$$

puesto que $\sum_{i=1}^na_{ij}e_i=Ae_j$ es la $j$-ésima columna de $A$. Esto demuestra que $\phi$ factoriza de manera única a través de la proyección natural, $\phi=g\circ p$,

$$k[ x ]^n\stackrel{p}\twoheadrightarrow \frac{k[ x ]^n}{\operatorname{im} (A-xI)}\stackrel{g}\longrightarrow k^n.$$

Como $\phi$ y $p$ son sobreyectivos, $g$ también lo será.

Queremos probar que $g$ es un isomorfismo. Este homomorfismo sobreyectivo de $k[ x ]$-módulos también lo es de $k$-módulos, es decir, de $k$-espacios vectoriales. Si demostramos que la dimensión del cociente como $k$-espacio vectorial es $\leq n$, entonces $g$ será necesariamente biyectivo. Sabemos que $S=\{\bar{e}_1,\dots, \bar{e}_n\}$ es un conjunto de generadores del cociente como $k[ x ]$-módulo. Es decir, todo elemento del cociente es una combinación lineal de $S$ con coeficientes polinómicos. Veamos que $S$ es también una base del cociente como $k$-espacio vectorial, es decir, que todo elemento es combinación lineal de $S$ con coeficientes constantes. Para ello basta ver que $x \bar{e}_j$ es siempre una combinación lineal de $S$ con coeficientes constantes, ya que de aquí se deduciría por inducción que $x^m\bar{e}_i$ también es una combinación lineal de $S$ con coeficientes constantes para todo $m\geq 1$. La $j$-ésima columna de $A-xI$ es $\sum_{i=1}^na_{ij}e_i-xe_j$, así que en efecto

$$x\bar{e}_j=\sum_{i=1}^na_{ij}\bar{e}_i.$$

$\Rightarrow$ Si $M$ es de torsión entonces por el teorema de estructura de $k[ x ]$-módulos finitamente generados, $M$ es isomorfo a un producto de una cantidad finita de $k[ x ]$-módulos cíclicos $k[ x ]/(p(x))$ con $p(x)\in k[ x ]$ un polinomio no trivial. Como $k[ x ]/(p(x))$ tiene dimensión finita como $k$-espacio vectorial (su dimensión es el grado de $p(x)$), deducimos que $M$ también tiene dimensión finita como $k$ espacio vectorial (la suma de las dimensiones de los factores cíclicos del producto).

$\Leftarrow$ Recíprocamente, si $M$ tiene dimensión finita como $k$ espacio vectorial, entonces no puede tener parte libre en su descomposición como producto de $k[ x ]$-módulos cíclicos ya que $k[ x ]$ no tiene dimensión finita como $k$-espacio vectorial.

Como $k$ es algebraicamente cerrado, los primos en $k[ x ]$ son los polinomios mónicos de grado $1$ y sus asociados. Sabemos que una base de

$$\frac{k[ x ]}{(x^m)}$$

como $k$-espacio vectorial es $\{\bar x^{m-1},\dots,\bar x,1\}$. Haciendo un cambio de variables es fácil ver que una base de

$$\frac{k[ x ]}{((x-\alpha)^m)}$$

como $k$-espacio vectorial es $\{(\bar x-\alpha)^{m-1},\dots,\bar x-\alpha,1\}$. Como

$$\begin{array}{rcl} x\cdot(\bar x-\alpha)^j&=&(x-\alpha+\alpha)\cdot(\bar x-\alpha)^j\cr &=&(x-\alpha)\cdot(\bar x-\alpha)^j+\alpha\cdot(\bar x-\alpha)^j\cr &=&(\bar x-\alpha)^{j+1}+\alpha\cdot(\bar x-\alpha)^j, \end{array}$$

la matriz de la multiplicación por $x$,

$$\frac{k[ x ]}{((x-\alpha)^m)}\stackrel{x\cdot}\longrightarrow \frac{k[ x ]}{((x-\alpha)^m)}$$

respecto de la base anterior es la caja de Jordan de tamaño $m\times m$ y autovalor $\alpha$.

Usando la primera proposición, consideramos $V$ como un $k[ x ]$-módulo de torsión con $x\cdot a=f(a)$. En virtud del segundo teorema de estructura, $V$ se descompone como un producto finito de $k[ x ]$-módulos cíclicos, cocientes por potencias de primos,

$$V\cong\frac{k[ x ]}{((x-\alpha_1)^{m_1})}\times\cdots\times \frac{k[ x ]}{((x-\alpha_n)^{m_n})}.$$

Como $k$-espacio vectorial, el $k[ x ]$-módulo de la derecha tiene base

$$\bigcup_{i=1}^n\{(0,\dots,(\bar x-\alpha_i)^j,\dots,0)\}_{j=m_i-1}^0,$$

donde la coordenada no trivial $(\bar x-\alpha_i)^j$ es la $i$-ésima. Respecto de esta base, la matriz del homomorfismo de multiplicación por $x$ es la matriz diagonal por cajas de Jordan de tamaños $m_i\times m_i$ y autovalores $\alpha_i$, $1\leq i\leq n$.

Trasladando esta base a $V$ por el isomorfismo dado por el segundo teorema de estructura, obtenemos una base de $V$ respecto de la cual la matriz de $f$ es esta misma.

La unicidad de la forma normal de Jordan se corresponde con la de la segunda forma del teorema de estructura. Observa que, sin embargo, la base respecto de la cual la matriz de $f$ está en forma normal de Jordan no es única en general.